已知点E是正方形ABCD内部一点，且∠BEC＝90°．

1. 已知点E是正方形ABCD内部一点，且∠BEC＝90°．

(1) 【初步探究】

如图1，延长CE交AD于点P．求证：△BEC∽△CDP；

(2) 【深入探究】

如图2，连接DE并延长交BC于点F，当点F是BC的中点时，求 $\text{[math]}$ 的值；

(3) 【延伸探究】

连接DE并延长交BC于点F，DF把∠BEC分成两个角，当这两个角的度数之比为1：2时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

(1) 【特例感知】

如图1，在正方形ABCD中，点P在边AB的延长线上，连结PD ，过点D作DM⊥PD ，交BC的延长线于点M ．求证：△DAP≌△DCM ．

(2) 【变式求异】

如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，过点D作DQ⊥AB ，交AC于点Q ，点P在边AB的延长线上，连结PQ ，过点Q作QM⊥PQ ，交射线BC于点M ．已知BC＝8，AC＝10，AD＝2DB ，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 【拓展应用】

如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点P在边AB的延长线上，点Q在边AC上（不与点A ， C重合），连结PQ ，以Q为顶点作∠PQM＝∠PBC ， ∠PQM的边QM交射线BC于点M ．若AC＝mAB ， CQ＝nAC（m ， n是常数），求 $\text{[math]}$ 的值（用含m ， n的代数式表示）．

实践探究题困难

2. 【发现】如图1，有一张三角形纸片 $\text{[math]}$ ，小宏做如下操作：

⑴取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中点D，E，在边 $\text{[math]}$ 上作 $\text{[math]}$ ；

⑵连接 $\text{[math]}$ ，分别过点D，N作 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为G，H；

⑶将四边形 $\text{[math]}$ 剪下，绕点D旋转 $\text{[math]}$ 至四边形 $\text{[math]}$ 的位置，将四边形 $\text{[math]}$ 剪下，绕点E旋转 $\text{[math]}$ 至四边形 $\text{[math]}$ 的位置；

⑷延长 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点F．

小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：

①点Q，A，T一条直线上；

②四边形 $\text{[math]}$ 是矩形；

③ $\text{[math]}$ ；

④四边形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积相等．

(1) 【任务1】请你对结论①进行证明．

(2) 【任务2】如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， P，Q分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

(3) 【任务3】如图3，有一张四边形纸 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，小丽分别取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点P，Q，在边 $\text{[math]}$ 上作 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，她仿照小宏的操作，将四边形 $\text{[math]}$ 分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求 $\text{[math]}$ 的长．

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3. 通过以前的学习，我们知道：“如图1，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ”．某数学兴趣小组在完成了以上学习后，决定对该问题进一步探究：

(1) 【问题探究】如图2，在正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ ；

(2) 【知识迁移】如图3，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 的值，并证明你的猜想；

(3) 【拓展应用】如图4，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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