如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连接A、E、C、F．

1. 如图，在△ABC中，AB＝CB，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE＝DF，顺次连接A、E、C、F．

(1) 求证：四边形AECF是菱形．

(2) 若EF＝2，AC＝4，直接写出四边形AECF的周长．

【考点】

勾股定理的应用; 菱形的判定与性质;

【答案】

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综合题普通

1. 若一个四边形有一组邻边相等，且这组邻边夹角所对的对角线平分一个内角，则称这样的四边形为“近似菱形”，例如：如图1，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， BD平分 $\text{[math]}$ ，则四边形ABCD是近似菱形．

(1) 请在图2中作出一个以BD为对角线的“近似菱形”ABCD ，顶点A、顶点C要在网格格点上．

(2) 如图3，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，求证：四边形ABCD是“近似菱形”．

(3) 在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求AB的长．

综合题困难

2. 姑婆山国家森林公园古窑冲猴趣园，调皮可爱的猴子随处可见．如图：有两只猴子爬到—棵树 $\text{[math]}$ 上的点B处，且 $\text{[math]}$ ，突然发现远方A处有好吃的东西，其中一只猴子沿树爬下走到离树 $\text{[math]}$ 处的池塘A处，另一只猴子先爬到树顶D处后再沿缆绳线段 $\text{[math]}$ 滑到A处，已知两只猴子所经过的路程相等，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．

(1) 请用含有x的整式表示线段 $\text{[math]}$ 的长为 m；

(2) 求这棵树高有多少米？

综合题普通

3. 将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，

(1) 求证：四边形AECF为菱形；

(2) 若AB=4，BC=8，求菱形的边长．

综合题普通