如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，O为AC中点．

1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线，O为AC中点．

(1) 用尺规完成基本作图：过O作AC的垂线l，分别交AD，BC于点E和F，连接CE，AF（不写作法，保留作图痕迹）；

(2) 在（1）所作图形中，猜想四边形AECF的形状，并证明你的猜想．

【考点】

菱形的判定;

【答案】

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作图题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的平分线交 $\text{[math]}$ 于点D，过点D作 $\text{[math]}$ 的平行线，分别交 $\text{[math]}$ 于点F，E．

(1) 依据题意画出示意图；

(2) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 为菱形；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 的面积．

作图题普通

2. 如图，点C为线段AB上一点且不与A，B两点重合，分别以AC，BC为边向AB的同侧做角为60°的菱形．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图．（保留作图痕迹）．

(1) 在图1中，连接DF，若AC＝BC，作出线段DF的中点M；

(2) 在图2中，连接DF，若 $\text{[math]}$ ，作出线段DF的中点N．

作图题普通

3. 已知：如图1， $\text{[math]}$ 为锐角三角形， $\text{[math]}$ ．

求作：菱形 $\text{[math]}$ ．

作法：如图2．

①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交 $\text{[math]}$ 于点M，交 $\text{[math]}$ 于点N；

②分别以点M，N为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧在 $\text{[math]}$ 的内部相交于点E，作射线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点O；

③以点O为圆心，以 $\text{[math]}$ 长为半径作弧，与射线 $\text{[math]}$ 交于点D，点D和点A分别位于 $\text{[math]}$ 的两侧，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；则四边形 $\text{[math]}$ 就是所求作的菱形．

(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2) 完成下面的证明．

证明：由作法可知， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ▲ ．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形（）（填推理的依据）．

$\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ 四边形 $\text{[math]}$ 是菱形（）（填推理的依据）．

作图题普通