如图1是《农政全书》中记载有用于采桑的桑梯，图2是示意图．已知米，与的张角为，为固定张角大小的绳索．为保证作业安全，的取值范围大于等于且小于，则的取值范围是．

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1. 如图1是《农政全书》中记载有用于采桑的桑梯，图2是示意图．已知 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的张角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为固定张角大小的绳索．为保证作业安全， $\text{[math]}$ 的取值范围大于等于 $\text{[math]}$ 且小于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

【考点】

等边三角形的性质; 含30°角的直角三角形; 勾股定理;

【答案】

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填空题普通

基础巩固

能力提升

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以 $\text{[math]}$ 为圆心的一个圆，可简化为图2．若 $\text{[math]}$ 被水面所截的弦长 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ 米，则筒车最低点距水面米．

填空题容易

2. 如图，有一块直角三角形纸片，直角边AC＝3cm，BC＝4cm，将直角边AC沿AD所在的直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，则CD的长为cm．

填空题容易

3. 直角三角形的两边分别是6和8，则第三边等于.

填空题容易

1. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 向内翻折，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上，记为 $\text{[math]}$ ，折痕为 $\text{[math]}$ ．若将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 向内翻折，点 $\text{[math]}$ 恰好落在 $\text{[math]}$ 上，记为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

填空题普通

2. 把含 $\text{[math]}$ 的两个直角三角板按如图所示摆放， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为

填空题普通

3. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 的半径为2，圆心O在线段 $\text{[math]}$ 上运动，则点A到 $\text{[math]}$ 上的点的距离最小值为．

填空题普通

1. 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A. 1 B. $\text{[math]}$ C. 2 D. $\text{[math]}$

单选题容易

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， CD是高， $\text{[math]}$ ．则下列关系正确的是（）．

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

3. 如图，将一把含30°角的三角尺的直角边AB贴在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，以点 $\text{[math]}$ 为圆心，斜边AC长为半径向右画弧，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则BD的长为（）

A. $\text{[math]}$ B. $\text{[math]}$ C. $\text{[math]}$ D. $\text{[math]}$

单选题普通

1. 如图，等边 $\text{[math]}$ 的边长为3， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上的一点（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 边的垂线，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，设线段 $\text{[math]}$ 的长度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

(1) 直接写出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数表达式及 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

解答题普通

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发沿 $\text{[math]}$ 方向以每秒 $\text{[math]}$ 个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 运动的时间是 $\text{[math]}$ 秒，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；

(2) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 是等边三角形？说明理由；

(3) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 为直角三角形？（请直接写出 $\text{[math]}$ 的值）

综合题困难

3. 综合与实践：

【问题情境】

活动课上，同学们以等边三角形为背景开展旋转探究活动，数学小组经过研究发现“等边三角形在旋转过程中，对应边所在直线的夹角与旋转角存在一定关系”（注：平面内两直线的夹角是指两直线相交形成的小于或等于90°的角）．如图1，将等边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转15°得到 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 的夹角 $\text{[math]}$ ．如图2，将等边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转100°得到 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 所在直线的夹角 $\text{[math]}$ ．

(1) 【特例分析】

如图1，若将等边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 所在直线的夹角度数为度；如图2，若将等边 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 所在直线的夹角度数为度．

(2) 【类比分析】

如图3，已知 $\text{[math]}$ 是等边三角形，分别在边 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．如图4，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所在直线互相垂直时，线段 $\text{[math]}$ 之间有怎样等量关系？试探究你的结论，并说明理由．

(3) 【延伸应用】

在（2）的条件下，如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）．当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所在直线互相垂直时，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 的长．