已知：如图，在菱形中，，，垂足分别为、，射线交的延长线于点．

1. 已知：如图，在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如果 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

【考点】

菱形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图1，菱形ABCD ，点M是边CD上任意一点，连结并延长AM交对角线BD于点E ，交BC的延长线于点N ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ．

①若点M为CD中点，求EM的长．

②若以AE ， EM ， MN为三边构成的三角形是一个等腰三角形，求EM的长．

(2) 若点F在线段BE上，满足 $\text{[math]}$ ，连结AF ， CF ，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，四边形AFCM的面积为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

综合题困难

2. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

3. 如图1，已知菱形 $\text{[math]}$ ，点E在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交对角线 $\text{[math]}$ 于点F．

(1) 求证 $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，联结 $\text{[math]}$ ．

①当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，求 $\text{[math]}$ 的大小；

②如图3，联结 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难