已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点．

(1) 若 $\text{[math]}$ 两点均在双曲线 $\text{[math]}$ 的右支上，求证： $\text{[math]}$ 为定值；

(2) 试判断以 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【考点】

直线与圆锥曲线的关系; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.

(1) 若直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 记线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题困难

2. 平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，点P的轨迹为C ，过点 $\text{[math]}$ 作直线l ，与轨迹C相交于A ， B两点．

(1) 求轨迹C的方程；

(2) 求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围；

(3) 若直线l与直线 $\text{[math]}$ 交于点M ，过点M作y轴的垂线，垂足为N ，直线NA ， NB分别与x轴交于点S ， T ，证明： $\text{[math]}$ 为定值．

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 焦点的直线交抛物线于M ， N两点， $\text{[math]}$ 的最小值为4.连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并延长分别交 $\text{[math]}$ 于A ， B两点，且点A与点M ，点B与点N均不在同一象限， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题困难