如图，已知在中，，点是边中点，在边上取一点，使得，延长交延长线于点．

1. 如图，已知在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 中点，在边 $\text{[math]}$ 上取一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 延长线于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 设 $\text{[math]}$ 的中点为点 $\text{[math]}$ ，

①如果 $\text{[math]}$ 为经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点的圆的一条弦，当弦 $\text{[math]}$ 恰好是正十边形的一条边时，求 $\text{[math]}$ 的值；

② $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，联结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的半径长．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 问题提出

如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？

(1) 问题探究

先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；

(2) 再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

(3) 问题拓展

如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝90°，BC＝kAC，EC＝kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

综合题困难

2. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D，E，F分别为 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，将 $\text{[math]}$ 绕点D顺时针旋转一定角度，得到 $\text{[math]}$ ，当射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点G，射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N时，连接 $\text{[math]}$ 并延长交射线 $\text{[math]}$ 于点M，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；

(3) 如图3，在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．

综合题困难

3. 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．

(1) 求证：△ADE∽△ABC；

(2) 若AD=3，AB=5，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通