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1. 如图，已知：在四边形中， ， 的垂直平分线交于点D，交于点E，且 ．

(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 当°时，四边形是正方形；
(3) 在（2）的条件下，若 ， 则四边形的面积为．
【考点】
三角形全等及其性质; 线段垂直平分线的性质; 菱形的判定; 正方形的判定与性质; 直角梯形;
【答案】

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综合题 普通
能力提升
换一批
1. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上(点E不与点B，C重合)，连接DE，过点D作DF⊥DE交直线AC于点F，连接EF．

(1) 如图(a)，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系：
(2) 如图(b)，当点F不与点A重合时，证明：AF2+BE2=EF2；
(3) 若AC=5，BC=3，EC=1，请直接写出线段AF的长．
综合题 普通
2. 【数学初探】

在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角 画出一个菱形，使 为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作 的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．

 

(1) 请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．
(2) 【深入探究】

雷同学开启大胆尝试，如图3，将 的中线BO延长至点D，使 ，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．

请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并求证．
(3) 【迁移应用】
如图4，在（2）的条件下，若 ，且 时，求 的值．
综合题 困难
3. 如图，▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．

(1) 求证：CF=AD
(2) 连接BD，DF，

①当∠ABC=90°时，△BDF的形状是；

②若∠ABC=50°，当∠CFD=°时，四边形ABCD是菱形．
综合题 普通