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(1) 【问题发现】如图1所示， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；

(2) 【类比探究】

如图2所示， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， B、D、E三点共线，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点F．此时，线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 【拓展延伸】

如图3所示，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中位线，将 $\text{[math]}$ 绕点A顺时针方向旋转，当 $\text{[math]}$ 所在直线经过点B时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

【考点】

相似三角形的判定与性质; 三角形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ，垂足为P．像 $\text{[math]}$ 这样的三角形均为“中垂三角形”．设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) [特例探索]

如图1，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

如图2，当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(2) [归纳证明]

请你观察（1）中的计算结果，猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系．

(3) [拓展应用]

利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为对角线 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 分别为线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长交于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 分别交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，如图4所示，求 $\text{[math]}$ 的值．

实践探究题困难

2. 如图

(1) 【基础巩固】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是AC的中点．延长BC至点E，使 $\text{[math]}$ ，延长ED交AB于点F，则 $\text{[math]}$ 的值为．

(2) 【思考探究】如图2，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值会发生变化吗？若不变，请写出证明过程；若发生变化，请说明理由．

(3) 【拓展延伸】如图3，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点D是线段AC上任意一点．延长BC至点E，使 $\text{[math]}$ ，延长ED交AB于点F，若 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的值（用含n的式子表示）．

实践探究题困难

3. 问题提出

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间存在怎样的数量关系？

(1) 问题探究：

①先将问题特殊化如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合时，易证 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），请利用全等探究 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系（直接写出结果，不要求写出理由）；

②再探究一般情形如图（ $\text{[math]}$ ），当点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合时，证明（ $\text{[math]}$ ）中的结论仍然成立．

(2) 问题拓展：

如图（ $\text{[math]}$ ），在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是常数），点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内部，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．直接写出一个等式，表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系．

实践探究题困难