如图，在中，，，，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接．

1. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 依题意，补全图形，并证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，请用等式表示线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并证明．

【考点】

旋转的性质; 三角形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形，当 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的任意一点（不与点 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，如图1，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转90°得线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

(1) 猜想线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系为，位置关系为；

(2) 如图2，若 $\text{[math]}$ 为锐角时，其它条件不变，（1）中的结论是否成立，并说明理由；

(3) 如图3，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长及 $\text{[math]}$ 的面积．

综合题困难

2. 在平面直角坐标系中，O为原点，点A（8，0），点B（0，6），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′B′O′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为α．

(1) 如图1，若α=90°，则AB=，并求AA′的长；

(2) 如图2，若α=120°，求点O′的坐标；

(3) 在（2）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，直接写出点P′的坐标．

综合题困难

3. 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 将图1中的 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转，其他条件不变，如图2，（1）的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转一周，当 $\text{[math]}$ 三点共线时，直接写出 $\text{[math]}$ 的长．

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