如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形.

1. 如图1，在四边形ABCD中，AC交BD于点E，△ADE为等边三角形.

(1) 若点E为BD的中点，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面积；

(2) 如图2，若BC＝CD，点F为CD的中点，求证：AB＝2AF；

(3) 如图3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，点P为四边形ABCD内一点，且∠APD＝90°，连接BP，取BP的中点Q，连接CQ.当AB＝6 $\text{[math]}$ ， AD＝4 $\text{[math]}$ ， tan∠ABC＝2时，求CQ＋ $\text{[math]}$ BQ的最小值.

【考点】

三角形的面积; 三角形全等的判定; 等边三角形的性质; 点与圆的位置关系; 锐角三角函数的定义;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，△ABC为等边三角形，点P是线段AC上一动点（点P不与A，C重合），连接BP，过点A作直线BP的垂线段，垂足为点D，将线段AD绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段AE，连接DE，CE．

(1) 求证：BD=CE；

(2) 延长ED交BC于点F，求证：F为BC的中点．

综合题普通

2. 已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h₁ ， h₂ ， h₃ ， △ABC的高为h.

(1) 若点P在一边BC上，如图①，此时h₃＝0，求证：h₁+h₂+h₃＝h；

(2) 当点P在△ABC内，如图②，以及点P在△ABC外，如图③，这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h₁ ， h₂ ， h₃与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由.

综合题困难

3. 问题情境：小明和小丽共同探究一道数学题：如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD = 65°，∠DAC = 50°，AD = 2，求AC的长为多少．

(1) 探索发现；

小明的思路是：延长AD至点E ，使DE = AD ，构造全等三角形．

小丽的思路是：过点C作CE∥AB ，交AD的延长线于点E ，构造全等三角形．

选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．

(2) 类比应用：如图②，

在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC = 67.5°，AO = 2，则BC的长为．

综合题普通