综合与实践如图，是等边三角形，，分别是，的中点，连接.

1. 综合与实践

如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上取点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ .

【考点】

等边三角形的判定与性质; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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实践探究题普通

(1) 【初步感知】

如图1，已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 上一动点 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ 以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．

求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；

(2) 【类比探究】

如图 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 的延长线上，随着动点 $\text{[math]}$ 的运动位置不同，猜想并证明： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系为：； $\text{[math]}$ 线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间的数量关系为：；

(3) 【拓展应用】

如图 $\text{[math]}$ ，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一定点且 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为射线 $\text{[math]}$ 上动点，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 请问： $\text{[math]}$ 是否有最小值？若有，请直接写出其最小值；若没有，请说明理由．

实践探究题普通

2. 小明发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1) 问题发现：在图1的“手拉手”图形中，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC ， DE分别是底边，求证：BD＝CE；

(2) 拓展探究：如图2，若△ABC和△CDE均是等边三角形，点A ， D ， E在同一条直线上，连接BE ，则∠AEB＝°，线段BE与AD之间的数量关系是；

(3) 解决问题：如图3，若△ABC和△DCE均是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A ， D ， E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE ，请求出∠AEB的度数，写出线段CM ， AE ， BE之间的数量关系，并说明理由．

实践探究题普通

(1) 【问题背景】

如图1：在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，且 $\text{[math]}$ ，小王同学探究此问题的方法是：延长 $\text{[math]}$ 到点G，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，再证明 $\text{[math]}$ ，可得出结论．

(2) 【探索延伸】如图2，若在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ，上述结论是否仍然成立

(3) 【学以致用】

如图3，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为5的正方形， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．

实践探究题困难