如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

1. 如图，在锐角△ABC中，∠A=60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

(1) 如图1，若AB>AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度数；

(2) 如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3) 若AB=AC，且BD=AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

【考点】

等边三角形的判定与性质; 圆的综合题; 解直角三角形; 三角形全等的判定-SAS;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，AC是 $\text{[math]}$ 的直径，BC是 $\text{[math]}$ 的切线，且 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为BC边上一点，AE交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接DF并延长交BC于点 $\text{[math]}$ ，连接CF.

(1) 写出图中一个与∠CFD互补的角；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，探究线段AC，CE，AB之间的数量关系，并说明理由.

综合题普通

2. 如图，在圆内接四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至点 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直径，求 $\text{[math]}$ 的度数．

(2) 求证：① $\text{[math]}$ ；

② $\text{[math]}$ ．

综合题困难

3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，点O在射线AC上（点O不与点A重合），过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径画半圆O，分别交射线AC于E、F两点，设OD=x.

(1) 如图1，当点O为AC边的中点时，求x的值；

(2) 如图2，当点O与点C重合时，连接DF，求弦DF的长；

(3) 当半圆O与BC无交点时，直接写出x的取值范围．

综合题困难