汕头星城湾欢乐世界位于儿童公园东园，是粤东地区全新的综合性游乐园，其中四环过山车项目的某段过山车可以抽象成如图所示模型。设曲面轨道和圆周轨道平滑连接，质量为的过山车从曲面轨道的点由静止滑下，经过最低点后，滑上半径为的圆轨道且恰好能通过最高点，忽略一切阻力，重力加速度为g，求：

1. 汕头星城湾欢乐世界位于儿童公园东园，是粤东地区全新的综合性游乐园，其中四环过山车项目的某段过山车可以抽象成如图所示模型。设曲面轨道和圆周轨道平滑连接，质量为 $\text{[math]}$ 的过山车从曲面轨道的 $\text{[math]}$ 点由静止滑下，经过最低点 $\text{[math]}$ 后，滑上半径为 $\text{[math]}$ 的圆轨道且恰好能通过最高点 $\text{[math]}$ ，忽略一切阻力，重力加速度为g，求：

(1) $\text{[math]}$ 点距离地面的高度 $\text{[math]}$ ；

(2) 求过山车第一次经过 $\text{[math]}$ 点时，对轨道的压力大小；

(3) 若考虑过山车运动过程受到阻力的作用，为了让过山车还能顺利通过最高点 $\text{[math]}$ ，需将轨道 $\text{[math]}$ 点的高度至少提升到原有高度的1.8倍，则过山车从 $\text{[math]}$ 点运动到 $\text{[math]}$ 点的过程中，克服阻力做了多少功？

【考点】

动能定理的综合应用;

【答案】

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综合题普通

1. 如图所示，在高h₁＝30 m的光滑水平平台上，质量m＝1 kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep。若打开锁扣K，物块将以一定的水平速度v₁向右滑下平台，做平抛运动，并恰好能从光滑圆弧形轨道BC的B点的切线方向进入圆弧形轨道。B点的高度h₂＝15 m，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上长为L＝70 m的水平粗糙轨道CD平滑连接；小物块沿轨道BCD运动并与右边墙壁发生碰撞，取g＝10 m/s²。

(1) 求小物块由A到B的运动时间；

(2) 求小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能Ep的大小；

(3) 若小物块与墙壁只发生一次碰撞，碰后速度等大反向，反向运动过程中没有冲出B点，最后停在轨道CD上的某点P(P点没画出)。设小物块与轨道CD之间的动摩擦因数为μ，求μ的取值范围。

综合题普通

2. 如图，用跨过光滑定滑轮的不可伸长的缆绳将海面上一艘失去动力的小船沿直线拖向岸边。已知拖动缆绳的电动机输出功率恒为P，小船的质量为m，小船受到的阻力大小恒为f，经过A点时缆绳与海平面的夹角为 $\text{[math]}$ ，此时小船的速度大小为 $\text{[math]}$ ，小船从A点沿直线加速运动到B点，A、B两点间距离为d，缆绳质量忽略不计。求：

(1) 小船在A点时，缆绳对小船的拉力大小F；

(2) 小船在A点时的加速度大小a；

(3) 若已知小船经过B点时的速度大小为 $\text{[math]}$ ，则小船从A点运动到B点经历时间t为多大。

综合题普通

3. 跳房子是一种常见的儿童游戏，又称跳方格。先在地上画一个写有数字的飞机状的房子，顺序形状如图所示，游戏规定参与者每次从第1格开始踢动瓦片向前滑动，瓦片每次只能依次前世一格，若瓦片压线或出界均属失败，先到达“天”字格者即获胜。游戏中正方形方格边长为 $\text{[math]}$ ，瓦片质量均为 $\text{[math]}$ ，某次游戏中瓦片停在第1格的正中间，踢动瓦片，使其获得 $\text{[math]}$ 的瞬间初速度，瓦片恰好滑行到第2格的正中间停下。瓦片可视为质点，重力加速度g取 $\text{[math]}$ 。

(1) 求瓦片与地面之间的动摩擦因数 $\text{[math]}$ ；

(2) 若某次游戏中，某瓦片处于第1格的正中间，给该瓦片多大的动能才能停在第2格内？（结果可以用根号表示）

综合题普通