【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想．

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1. 【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形 $\text{[math]}$ 为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中 $\text{[math]}$ ．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在 $\text{[math]}$ 上，点B的对应点为点E，折痕为 $\text{[math]}$ ；再沿过点F的直线折叠，使点C落在 $\text{[math]}$ 上，点C的对应点为点H，折痕为 $\text{[math]}$ ；然后连结 $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想 $\text{[math]}$ ．

(1) 【问题解决】

小亮对上面 $\text{[math]}$ 的猜想进行了证明，下面是部分证明过程：

证明：四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，

∴ $\text{[math]}$ ．

由折叠可知， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

∴ $\text{[math]}$ ．

请你补全余下的证明过程．

(2) 【结论应用】

$\text{[math]}$ 的度数为度， $\text{[math]}$ 的值为；

(3) 在图①的条件下，点P在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，点Q在线段 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，如图②，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．（用含a的代数式表示）

【考点】

矩形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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实践探究题困难

1. 综合探究

在边长为5的正方形 $\text{[math]}$ 中，点E是线段 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边在直线 $\text{[math]}$ 右侧作正方形 $\text{[math]}$ ．

(1) 如题-1图，若EF与CD交于点H ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，求证：C ， D ， G三点共线；

(3) 如图-2图，若点E是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长．

实践探究题困难

2. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．

(1) 在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；

(2) 如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE ，过点B作BG⊥AE于点H ，交CD于点G ，连AG、EG ．

①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；

②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；

(3) 如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A ，过点A作AO⊥FR于点O ，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．

实践探究题普通

3. 应用与探究

【情境呈现】

在一次数学兴趣小组活动中，小明同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．他把三角板 $\text{[math]}$ 固定好后，将三角板 $\text{[math]}$ 从图1所示的位置开始绕点 $\text{[math]}$ 按顺时针方向旋转，每秒转动 $\text{[math]}$ ，设转动时间为 $\text{[math]}$ 秒 $\text{[math]}$ ．

(1) 【问题应用】请直接写出图1中线段 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 如图2，在三角板 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，连接 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 是矩形时，求 $\text{[math]}$ 值；

(3) 【问题探究】如图3，在三角板 $\text{[math]}$ 旋转的过程中，取 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是否存在最大值？若存在，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值，并直接写出此时的 $\text{[math]}$ 值：若不存在，请说明理由．

实践探究题困难