如图：

1. 如图：

(1) 将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．

①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；

②求四边形AGCH的面积．

(2) 如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2 $\text{[math]}$ ， BC＝7，CF＝ $\text{[math]}$ ，求四边形AGCH的面积．

【考点】

矩形的性质; 四边形的综合;

【答案】

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综合题普通

1. 数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．

(1) 推理证明：

在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的符合题意性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中线，则 $\text{[math]}$ ，请你用矩形的性质证明这个结论的符合题意性．

(2) 迁移运用：利用上述结论解决下列问题：

①如图2，在线段 $\text{[math]}$ 异侧以 $\text{[math]}$ 为斜边分别构造两个直角三角形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系并说明理由；

②如图3， $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是矩形；

综合题困难

2. 如图， $\text{[math]}$ 为正方形ABCD的边BC上任意一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，在AP的延长线上取一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连结BE，CE

(1) 如图①，若正方形的边长为6，PB=2，求BG的长.

(2) 如图②，当P为BC的中点时，求证：CE：BG= $\text{[math]}$ ∶1.

(3) 当BP：PC=2∶3时，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题困难

3. 将一个矩形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 $\text{[math]}$ ，并与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴相交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的对应点 $\text{[math]}$ 落在第一象限 $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的大小和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图 $\text{[math]}$ ，若折叠后重合部分为四边形，点 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 的下方， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试用含有 $\text{[math]}$ 的式子表示重合部分的面积 $\text{[math]}$ ，并直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(3) 若折叠后重合部分的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值 $\text{[math]}$ 直接写出结果即可 $\text{[math]}$ ．

综合题困难