将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点P在边上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点落在第一象限．设．

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1. 将一个矩形纸片 $\text{[math]}$ 放置在平面直角坐标系中，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，点P在边 $\text{[math]}$ 上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且 $\text{[math]}$ ，点O的对应点 $\text{[math]}$ 落在第一象限．设 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的大小和点 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 如图②，若折叠后重合部分为四边形， $\text{[math]}$ 分别与边 $\text{[math]}$ 相交于点E，F，试用含有t的式子表示 $\text{[math]}$ 的长，并直接写出t的取值范围；

(3) 若折叠后重合部分的面积为 $\text{[math]}$ ，则t的值可以是（请直接写出两个不同的值即可）．

【考点】

矩形的性质; 翻折变换（折叠问题）; 四边形的综合;

【答案】

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综合题困难

1. 如图 $\text{[math]}$ ，长方形纸片 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 位于边 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 位于边 $\text{[math]}$ 上，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对应点分别为点 $\text{[math]}$ ．

(1) 当点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合时，如图 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长；

(2) 如果点 $\text{[math]}$ 位于边 $\text{[math]}$ 上，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 的对应点为点 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 当点 $\text{[math]}$ 恰好落在线段 $\text{[math]}$ 上时，如图 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
$\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的度数．

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2. 如图，已知一个矩形纸片OABC ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，O为原点，矩形的顶点 A ， C分别在x轴，y轴的正半轴上，顶点B $\text{[math]}$ ，点D是矩形边OA上的动点，沿CD折叠该纸片，得点B的对应点 $\text{[math]}$ ，点A的对应点 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图①，当点D与点A重合时， $\text{[math]}$ 与x轴交于E点．

①求点E和点 $\text{[math]}$ 的坐标．

②在直线AC上是否存在点P ，使 $\text{[math]}$ 的值最小?若存在，请找出点P的位置，并求出 $\text{[math]}$ 的最小值；若不存在，请说明理由．

(2) 在纸片折叠的过程中，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标（直接写出结果即可）．

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3. 数学学习总是循序渐进、不断延伸拓展的，数学知识往往起源于人们为了解决某些问题，通过观察、测量、思考、猜想出的一些结论．但是所猜想的结论不一定都是正确的．人们从已有的知识出发，经过推理、论证后，如果所猜想的结论在逻辑上没有矛盾，就可以作为新的推理的前提，数学中称之为定理．

(1) 推理证明：

在八年级学习等腰三角形和直角三角形时，借助工具测量就能够发现：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，当时并未说明这个结论的符合题意性．九年级学习了矩形的判定和性质之后，就可以解决这个问题了．如图1，在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 是斜边 $\text{[math]}$ 上的中线，则 $\text{[math]}$ ，请你用矩形的性质证明这个结论的符合题意性．

(2) 迁移运用：利用上述结论解决下列问题：

①如图2，在线段 $\text{[math]}$ 异侧以 $\text{[math]}$ 为斜边分别构造两个直角三角形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， E、F分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系并说明理由；

②如图3， $\text{[math]}$ 对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于点O，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为斜边且在同侧分别构造两个直角三角形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 是矩形；

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