如图，已知点M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．

1. 如图，已知点M（x₁ ， y₁），N（x₂ ， y₂）在二次函数y＝a（x﹣2）²﹣1（a＞0）的图象上，且x₂﹣x₁＝3．

(1) 若二次函数的图象经过点（3，1）.

①求这个二次函数的表达式；

②若y₁＝y₂ ，求顶点到MN的距离；

(2) 当x₁≤x≤x₂时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.

【考点】

二次函数的最值; 二次函数y=ax²+bx+c的图象; 二次函数y=ax²+bx+c的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求此抛物线的解析式．

(2) 当点 $\text{[math]}$ 与此抛物线的顶点重合时，求 $\text{[math]}$ 的值．

(3) 当 $\text{[math]}$ 的边与 $\text{[math]}$ 轴平行时，求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的纵坐标的差．

(4) 设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间部分（包括点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $\text{[math]}$ ，顶点坐标为 $\text{[math]}$

(1) 若函数图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称，求函数的表达式；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得当 $\text{[math]}$ 时，二次函数的最大值为最小值的 $\text{[math]}$ 倍，若存在，求出 $\text{[math]}$ ；若不存在，请说明理由．

综合题普通

3. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 交y轴于点A，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 轴，用含a的代数式表示b；

(2) 记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若图象G上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，求t的取值范围．

综合题普通