已知等差数列中，．正项数列前项和满足：对任意成等比数列．

1. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．正项数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 满足：对任意 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 成等比数列．

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式：

(2) 记 $\text{[math]}$ ．证明：对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ．

【考点】

等差数列的通项公式; 数列的递推公式;

【答案】

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解答题普通

1. 记数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， ____.给出下列两个条件：条件①：数列 $\text{[math]}$ 和数列 $\text{[math]}$ 均为等比数列；条件②： $\text{[math]}$ .试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：

（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

(1) 求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

(2) 记正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .

解答题普通

2. 已知数列 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . 记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ .记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，写出 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，写出所有满足条件的数列 $\text{[math]}$ ，并说明理由；

(3) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ . 证明： $\text{[math]}$ ，

使得 $\text{[math]}$ .

解答题困难

3. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

解答题普通