小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是，第二个路口遇到红灯的概率是．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．

1. 小李下班后驾车回家的路线有两条．路线1经过三个红绿灯路口，每个路口遇到红灯的概率都是 $\text{[math]}$ ；路线2经过两个红绿灯路口，第一个路口遇到红灯的概率是 $\text{[math]}$ ，第二个路口遇到红灯的概率是 $\text{[math]}$ ．假设两条路线全程绿灯时的驾车回家时长相同，且每个红绿灯路口是否遇到红灯相互独立．

(1) 若小李下班后选择路线1驾车回家，求至少遇到一个红灯的概率．

(2) 假设每遇到一个红灯驾车回家时长就会增加1min，为使小李下班后驾车回家时长的累计增加时间（单位：min）的期望最小，小李应选择哪条路线？请说明理由．

【考点】

互斥事件的概率加法公式; 相互独立事件的概率乘法公式;

【答案】

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解答题普通

1. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜．当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜．若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，甲接球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当某局打成10∶10平后，甲先发球，求“两人又打了4个球且获胜”的概率；

(2) 在单局比赛中，假如甲先发球，求甲最终11∶2获胜的概率．

解答题普通

2. 某百科知识竞答比赛的半决赛阶段，每两人一组进行PK，胜者晋级决赛，败者终止比赛.比赛最多有三局.第一局限时答题，第二局快问快答，第三局抢答.比赛双方首先各自进行一局限时答题，依据答对题目数量，答对多者获胜，比赛结束，答对数量相等视为平局，则需进入快问快答局；若快问快答平局，则需进入抢答局，两人进行抢答，抢答没有平局.已知甲､乙两位选手在半决赛相遇，且在与乙选手的比赛中，甲限时答题局获胜与平局的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，快问快答局获胜与平局的概率分别为 $\text{[math]}$ ，抢答局获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，且各局比赛相互独立.

(1) 求甲至多经过两局比赛晋级决赛的概率；

(2) 已知乙最后晋级决赛，但不知甲､乙两人经过几局比赛，求乙恰好经过三局比赛才晋级决赛的概率.

解答题普通

3. 通信编码信号利用 $\text{[math]}$ 信道传输，如图1，若 $\text{[math]}$ 信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若 $\text{[math]}$ 信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．

华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家Erdal Arikan 教授的极化码技术（以两个相互独立的 $\text{[math]}$ 信道传输信号为例）：如图3，信号 $\text{[math]}$ 直接从信道2传输；信号 $\text{[math]}$ 在传输前先与 $\text{[math]}$ “异或”运算得到信号 $\text{[math]}$ ，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．

（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“ $\text{[math]}$ ”表示： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． “异或”运算性质： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ）．假设每个信道传输成功的概率均为 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．

(1) 在传统传输方案中，设“信号 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均被成功接收”为事件 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ：

(2) 对于极化码技术：①求信号 $\text{[math]}$ 被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定 $\text{[math]}$ 的值）的概率；②若对输入信号 $\text{[math]}$ 赋值（如 $\text{[math]}$ ）作为已知信号，接收端只解码信号 $\text{[math]}$ ，求信号 $\text{[math]}$ 被成功解码的概率.

解答题困难