甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响．

1. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为 $\text{[math]}$ ，乙每次投篮投中的概率为 $\text{[math]}$ ，且各次投篮互不影响．

(1) 求甲获胜的概率；

(2) 求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望．

【考点】

互斥事件的概率加法公式; 相互独立事件的概率乘法公式; 离散型随机变量及其分布列; 离散型随机变量的期望与方差;

【答案】

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解答题普通

1. 2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为A、B两档，当预定A档未成功时，系统自动进入B档预定，已知获得A档门票的概率是 $\text{[math]}$ ，若未成功，仍有 $\text{[math]}$ 的概率获得B档门票的机会；而成功获得其他赛事门票的概率均为 $\text{[math]}$ ，且获得每张门票之间互不影响．甲预定了一张A档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．

(1) 求甲乙两人都没有获得任何门票的概率；

(2) 求乙获得的门票数比甲多的概率．

解答题普通

2. 乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目．已知某次乒乓球比赛单局赛制为：每两球交换发球权，每赢1球得1分，先得11分者获胜．当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜．若单局比赛中，甲发球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ，甲接球时获胜的概率为 $\text{[math]}$ ．

(1) 当某局打成10∶10平后，甲先发球，求“两人又打了4个球且获胜”的概率；

(2) 在单局比赛中，假如甲先发球，求甲最终11∶2获胜的概率．

解答题普通

3. 某学校举行诗词知识选拔赛，通过微信小程序自行注册并登录进行作答，选拔赛一共设置了由易到难的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四道题，答题规则如下：每次作答一题，按问题 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 顺序作答；每位同学初始得分均为10分，答对问题 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；每作答完一题，小程序自动累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，通过比赛；当作答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束；假设小强同学对问题 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 回答正确的概率依次为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响．

（Ⅰ）求小强同学前三道题都答对的概率；

（Ⅱ）用 $\text{[math]}$ 表示小强同学答题结束时的得分，求 $\text{[math]}$ 的分布列；

（Ⅲ）求小强同学能通过比赛的概率．

解答题普通