问题提出：在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是和，，现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．如何铺设使得管道长度较短？方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点A关于l对称，与l交于点P）．

1. 问题提出：在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．如何铺设使得管道长度较短？

方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 于点P）；图2是方案二的示意咨图，设该方案中管道长度为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （其中点 $\text{[math]}$ 与点A关于l对称， $\text{[math]}$ 与l交于点P）．

(1) 在方案一中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用含a的式子表示）；

(2) 在方案二中，组长小宇为了计算 $\text{[math]}$ 的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用含a的式子表示）．

(3) ①当 $\text{[math]}$ 时，比较大小： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“＞”、“＝”或“＜”）；

②当 $\text{[math]}$ 时，比较大小： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （填“＞”、“＝”或“＜”）；

(4) 请你参考方框中的方法指导，就a（当 $\text{[math]}$ 时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案还是方案二？

方法指导

当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较：

∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的符号相同．

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，即m=n；

当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，即m＜n；

【考点】

勾股定理; 轴对称的应用-最短距离问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q为AB的中点．动点P从点A出发沿折线AC--CB以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ，以PQ为边构造正方形PMNQ且边MN与点B始终在边PQ同侧．设点P的运动时间为t秒(>0)．

(1) 线段AB的长为

(2) 当点P在边AC上运动时，线段CP的长为 ▲ (用含t的代数式表示) ．

①当正方形PMNQ与△ABC重叠部分图形是正方形时，求t的取值范围．

②当边MN的中点落在△ABC的边上时，求正方形PMNQ的面积．

(3) 当点P不与点C重合时，作点C关于直线PQ的对称点C'当PC'⊥AB时，直接写出t的值．

综合题普通

2. 在三角形中，一个角两夹边的平方和减去它对边的平方所得的差，叫做这个角的勾股差.

(1) 概念理解：在直角三角形中，直角的勾股差为；在底边长为2的等腰三角形中，底角的勾股差为；

(2) 性质探究：如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中线， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的勾股差为 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 的勾股差为 $\text{[math]}$ ；

①求 $\text{[math]}$ 的值（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；

②试说明 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为相反数；

(3) 性质应用：如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.

综合题普通

3. 如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别发铺设管道输送燃气，试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短.

(1) 如图②，作出点A关于l的对称点 $\text{[math]}$ ，线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点C的位置即为所求，即在点C处建气站，所得路线ACB是最短的，为了让明点C的位置即为所求，不妨在l直线上另外任取一点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ，请完成这个证明.

(2) 如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域请分别始出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由），

①生市保护区是正方形区城，位置如图③所示

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示.

综合题普通