如图，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时，.

1. 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，动点P满足 $\text{[math]}$ PAB的垂心为原点O.当直线l的倾斜角为30°时， $\text{[math]}$ .

(1) 求抛物线C的标准方程；

(2) 求证：点P在定直线上.

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的简单性质; 直线与圆锥曲线的关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为1的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于不同的两点 $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

解答题困难

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．

(1) 求抛物线C的方程；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，求证：直线AB过定点．

解答题普通

3. 如图所示，曲线 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线交曲线 $\text{[math]}$ 于点A，交曲线 $\text{[math]}$ 于点B，若点C在曲线 $\text{[math]}$ 的准线上．

(1) 求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若存在直线使点B为 $\text{[math]}$ 中点，求A点横坐标（用p表示）及 $\text{[math]}$ 斜率的范围．

解答题普通