如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M ，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

1. 如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y²=4x上存在不同的两点A ， B满足PA ， PB的中点均在C上．

（Ⅰ）设AB中点为M ，证明：PM垂直于y轴；

（Ⅱ）若P是半椭圆x²+ $\text{[math]}$ =1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．

【考点】

抛物线的标准方程; 抛物线的简单性质; 抛物线的应用; 直线与圆锥曲线的关系;

【答案】

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解答题困难

1. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，焦点为F，过 $\text{[math]}$ 作两条关于直线 $\text{[math]}$ 对称的直线分别交 $\text{[math]}$ 于A，B两点.

(1) 判断直线 $\text{[math]}$ 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点在抛物线 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 三个顶点的横坐标均小于2.

解答题普通

2. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为1的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于不同的两点 $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 若线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

解答题困难

3. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，其中 $\text{[math]}$ ，弦 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为端点的射线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 恰好是 $\text{[math]}$ 的重心，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难