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1. 如图,对称轴x=1的抛物线y=ax
2
+bx+c与x轴交于A(﹣2,0),B两点,与y轴交于点C(0,2),
(1)
求抛物线和直线BC的函数表达式;
(2)
若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点,求△BQC的面积的最大值;
(3)
点P为抛物线上的一个动点,过点P作过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E.若点P在第四象限内,当OD=4PE时,△PBE的面积;
(4)
在(3)的条件下,若点M为直线BC上一点,点N为平面直角坐标系内一点,是否存在这样的点M和点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】
二次函数与一次函数的综合应用;
【答案】
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综合题
困难
能力提升
真题演练
换一批
1. 公路上正在行驶的甲车发现前方
处沿同一方向行驶的乙车后,开始减速,减速后甲车行驶的路程
单位:
、速度
单位:
与时间
单位:
的关系分别可以用二次函数和一次函数表示,其图象如图所示.
(1)
直接写出
关于
的函数关系式
和
关于
的函数关系式
不要求写出
的取值范围
(2)
当甲车减速至
时,它行驶的路程是多少?
(3)
若乙车以
的速度匀速行驶,两车何时相距最近,最近距离是多少?
综合题
普通
2. 如图1,抛物线
与
轴交于
,
两点(点
在点
左边),与
轴交于点
, 点
在抛物线上,且
的面积为
.
(1)
求抛物线的解析式;
(2)
点D在第三象限内的抛物线上,当△ADP的面积为21时,求点D的坐标.
(3)
如图2,直线
交抛物线于
,
两点,直线
,
分别与
轴的正、负半轴交于
,
两点,且
.求证:直线
必过定点,并求出这个定点的坐标.
综合题
困难
3. 我们不妨约定:在平面直角坐标系中,若某直线
l
经过抛物线
L
:
y
=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
,
b
,
c
是常数,
a
≠0)的顶点和该抛物线与
y
轴的交点,则把该直线
l
称为抛物线
L
的“心心相融线”.根据该约定,请完成下列各题:
(1)
若直线
y
=
kx
+1是抛物线
y
=
x
2
-2
x
+1的“心心相融线”,求
k
的值.
(2)
若过原点的抛物线
L
:
y
=-
x
2
+
bx
+
c
(
b
,
c
是常数,且
b
≠0)的“心心相融线”为
y
=
mx
+
n
(
m
≠0),则代数式
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
(3)
当常数
k
满足
<
k
≤2时,求抛物线
L
:
y
=
ax
2
+(3
k
2
-2
k
+1)
x
+
k
(
a
,
b
,
c
是常数,
a
≠0)的“心心相融线”
l
与
x
轴,
y
轴所围成的三角形面积的取值范围.
综合题
普通
1. 如图,已知二次函数
的图象经过点A(4,0),与y轴交于点B.在x轴上有一动点C(m,0)(0<m<4),过点C作x轴的垂线交直线AB于点E,交该二次函数图象于点D.
(1)
求a的值和直线AB的解析式;
(2)
过点D作DF⊥AB于点F,设△ACE,△DEF的面积分别为S
1
, S
2
, 若S
1
=4S
2
, 求m的值;
(3)
点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点,点G是线段AB上的动点,当四边形DEGH是平行四边形,且▱
周长取最大值时,求点G的坐标.
综合题
困难
2. 如图,已知点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在抛物线y=ax
2
+bx+c上.
(1)
求抛物线解析式;
(2)
在直线BC上方的抛物线上求一点P,使△PBC面积为1;
(3)
在x轴下方且在抛物线对称轴上,是否存在一点Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q点坐标;若不存在,说明理由.
综合题
困难
3. 在平面直角坐标系中,抛物线
与
轴交于点
,
(点
在点
的左侧),与
轴交于点
, 且点
的坐标为
.
(1)
求点
的坐标;
(2)
如图1,若点
是第二象限内抛物线上一动点,求点
到直线
距离的最大值;
(3)
如图2,若点
是抛物线上一点,点
是抛物线对称轴上一点,是否存在点
使以
,
,
,
为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
综合题
困难