综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B ，与y轴交于点C ，连接BC ，，对称轴为，点D为此抛物线的顶点．

1. 综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A、B ，与y轴交于点C ，连接BC ， $\text{[math]}$ ，对称轴为 $\text{[math]}$ ，点D为此抛物线的顶点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 抛物线上C ， D两点之间的距离是；

(3) 点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE ．求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；

(4) 点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B、C、P、Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q的坐标．

【考点】

待定系数法求二次函数解析式; 二次函数-动态几何问题;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，抛物线y＝ax²+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x＝ $\text{[math]}$ ，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．

(1) 求抛物线的表达式；

(2) 当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；

(3) 抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

综合题困难

2. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于除原点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，且其顶点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点坐标为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求抛物线的函数表达式；

(2) 抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线 $\text{[math]}$ 上的任意一点G到定点F的距离与点G到直线 $\text{[math]}$ 的距离总相等．

①证明上述结论并求出点F的坐标；

②过点F的直线l与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点．证明：当直线l绕点F旋转时， $\text{[math]}$ 是定值，并求出该定值；

(3) 点 $\text{[math]}$ 是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点 $\text{[math]}$ ，使四边形 $\text{[math]}$ 周长最小，直接写出 $\text{[math]}$ 的坐标．

综合题困难

3. 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 交x轴于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，交y轴于点C ，动点P在抛物线的对称轴上．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 当以P ， B ， C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及 $\text{[math]}$ 的周长；

(3) 若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q ，使得以A ， C ， P ， Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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