已知函数 .

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；

(2) 求曲线 $\text{[math]}$ 过坐标原点的切线与曲线 $\text{[math]}$ 的公共点的坐标.

【考点】

导数的几何意义; 利用导数研究函数的单调性;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 讨论 $\text{[math]}$ 的单调性.

解答题普通

2. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题普通

3. “对称性”是一个广义的概念，包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴，是数学之美的重要体现．

假定以下各点均在第一象限，各函数的定义域均为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，且对于运算“ $\text{[math]}$ ”， $\text{[math]}$ 表示坐标为 $\text{[math]}$ 的点．若点U ， V ， W满足 $\text{[math]}$ ，则称V与U相似，记作V~U ．若存在单调函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得对于 $\text{[math]}$ 图像上任意一点T ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 图像上，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．

(1) 若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且N~M ，求 $\text{[math]}$ 的坐标；

(2) 证明：若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

(3) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的镜像函数．设R~S ，且 $\text{[math]}$ ．

证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难