已知点P为线段上一点．将线段绕点A逆时针旋转，得到线段；再将线段绕点B逆时针旋转，得到线段；连接，取中点M ，连接．

1. 已知点P为线段 $\text{[math]}$ 上一点．将线段 $\text{[math]}$ 绕点A逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ；再将线段 $\text{[math]}$ 绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到线段 $\text{[math]}$ ；连接 $\text{[math]}$ ，取 $\text{[math]}$ 中点M ，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，当点P在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 如图2，当点P不在线段 $\text{[math]}$ 上，写出线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系与位置关系，并证明．

【考点】

等边三角形的性质; 旋转的性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．

(1) 求∠DCE的度数；

(2) 若AB=4，CD=3AD，求DE的长．

综合题普通

2. $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ 绕点C旋转，连接 $\text{[math]}$ ．

(1) 猜测发现：如图1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．

(2) 问题解决：若 $\text{[math]}$ 三点不在一条直线上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．

(3) 拓展运用：若 $\text{[math]}$ 三点在一条直线上（如图2），且 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的边长分别为1和2， $\text{[math]}$ 的面积及 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

3. 如图，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转α得到线段A'B'，连结AA'，BB'。

(1) 比较∠OAA'与∠OBB'的大小，并说明理由。

(2) 当α=45°时，若OA=3，OB=4；请你编制一个计算题（不标注新的字母），并解答（根据编出的问题层次，给不同的得分）。

综合题普通