已知双曲线的离心率为，过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，且 ( 为坐标原点)的面积为 .

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，过双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点 $\text{[math]}$ 作渐近线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为坐标原点)的面积为 $\text{[math]}$ .

(1) 求双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上的两点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于原点对称， $\text{[math]}$ 是双曲线上异于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的点.若直线 $\text{[math]}$ 和直线 $\text{[math]}$ 的斜率均存在，则 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【考点】

双曲线的标准方程; 双曲线的简单性质;

【答案】

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解答题普通

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(2) 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 的交点N在双曲线C上，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明 $\text{[math]}$ 为定值，并求出定值．

解答题普通

2. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F₁(-c，0)，F₂(c，0)，其中c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.

(1) 求C的标准方程；

(2) 若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： $\text{[math]}$ ＝1的交点为P，Q，试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.

解答题普通

3. 双曲线 $\text{[math]}$ 的左顶点为 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上．当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的离心率；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在第一象限，证明： $\text{[math]}$ ．

解答题困难