设双曲线的右焦点为，渐近线方程为．

1. 设双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，渐近线方程为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求C的方程；

(2) 过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 $\text{[math]}$ 在C上，且 $\text{[math]}$ ．过P且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与过Q且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交于点M，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：

①M在 $\text{[math]}$ 上；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

【考点】

双曲线的标准方程; 双曲线的简单性质; 直线与圆锥曲线的关系;

【答案】

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解答题普通

1. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ 上．

(1) 求双曲线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ 为双曲线的左焦点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 的左支于 $\text{[math]}$ 两点．点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．设直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值．

解答题普通

2. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左，右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．且该双曲线过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求C的方程；

(2) 如图．过双曲线左支内一点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的直线分别与双曲线相交于点A，B和点C，D．当直线AB，CD均不平行于坐标轴时，直线AC，BD分别与直线 $\text{[math]}$ 相交于P．Q两点，证明：P，Q两点关于x轴对称．

解答题困难

3. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且经过点 $\text{[math]}$ ．

(1) 求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(2) 已知过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 的交点N在双曲线C上，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明 $\text{[math]}$ 为定值，并求出定值．

解答题普通