已知定直线l：y=x+3，定点A（2，1），以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．

1. 已知定直线l：y=x+3，定点A（2，1），以坐标轴为对称轴的椭圆C过点A且与l相切．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）椭圆的弦AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由．

【考点】

椭圆的标准方程;

【答案】

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解答题普通

已知椭圆C： $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，左右焦点为F₁（﹣c，0），F₂（c，0），且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点．

（I）求椭圆C方程；

（II）圆D： $\text{[math]}$ 与椭圆C交于A，B两点，R为线段AB上任一点，直线F₁R交椭圆C于P，Q两点，若AB为圆D的直径，且直线F₁R的斜率大于1，求|PF₁||QF₁|的取值范围．

解答题困难

2. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ， O为坐标原点，点P（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，连接PF₁交y轴于点Q，点Q满足 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与椭圆C有两个交点A，B．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）已知点M（ $\text{[math]}$ ，0），若直线l过椭圆C的右焦点F₂ ，证明： $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 为定值；

（Ⅲ）若直线l过点（0，2），设N为椭圆C上一点，且满足 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，求实数λ的取值范围．

解答题困难

3. 已知椭圆E： $\text{[math]}$ 中，a= $\text{[math]}$ b，且椭圆E上任一点到点 $\text{[math]}$ 的最小距离为 $\text{[math]}$ ．

(1) 求椭圆E的标准方程；

(2) 如图4，过点Q（1，1）作两条倾斜角互补的直线l₁ ， l₂（l₁ ， l₂不重合）分别交椭圆E于点A，C，B，D，求证：|QA|•|QC|=|QB|•|QD|．

解答题普通