法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数满足如下条件： ⑴在闭区间上是连续不断的； ⑵在区间上都有导数．则在区间上至少存在一个数，使得，其中称为拉格朗日中值．则在区间上的拉格朗日中值．

1. 法国数学家拉格朗日于1778年在其著作《解析函数论》中提出一个定理：如果函数 $\text{[math]}$ 满足如下条件：

⑴在闭区间 $\text{[math]}$ 上是连续不断的；

⑵在区间 $\text{[math]}$ 上都有导数．

则在区间 $\text{[math]}$ 上至少存在一个数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 称为拉格朗日中值．则 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的拉格朗日中值 $\text{[math]}$ ．

【考点】

导数的概念;

【答案】

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填空题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 为对数函数，并且它的图象经过点 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

(1) 求函数 $\text{[math]}$ 的解析式；

(2) 求函数 $\text{[math]}$ 的最小值 $\text{[math]}$ 的表达式；

(3) 是否存在实数 $\text{[math]}$ 同时满足以下条件：① $\text{[math]}$ ；②当 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ 时，值域为 $\text{[math]}$ .若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ .

(1) 求a ， b的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是定义在R上的奇函数，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$

（ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的解析式

（ⅱ）求不等式 $\text{[math]}$ 的解集.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 在定义域内单调递增；

(2) 若函数 $\text{[math]}$ 存在极大值 $\text{[math]}$ ，极小值 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .（其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）

解答题困难