对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称“局部中心函数”.

1. 对于函数 $\text{[math]}$ ，若在定义域内存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称“局部中心函数”.

(1) 已知二次函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），试判断 $\text{[math]}$ 是否为“局部中心函数”，并说明理由；

(2) 若 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 上的“局部中心函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

奇函数与偶函数的性质; 抽象函数及其应用;

【答案】

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解答题普通

1. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义在R上的增函数，满足 $\text{[math]}$

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 判断函数 $\text{[math]}$ 的奇偶性并证明；

(3) 若 $\text{[math]}$ ，求x的取值范围.

解答题困难

2. 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ ，满足对任意 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；

(2) 判断 $\text{[math]}$ 的奇偶性，并证明你的结论；

(3) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，解不等式 $\text{[math]}$ ．

解答题普通

3. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ 为奇函数，求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时，（i）作出函数 $\text{[math]}$ 的大致图象﹐并写出 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（ii）若对任意互不相等的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题普通