如图，是等边三角形，，动点P从点A出发，以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交折线于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧．设点P的运动时间为，与重叠部分图形的面积为．

1. 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ ，动点P从点A出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向点B匀速运动，过点P作 $\text{[math]}$ ，交折线 $\text{[math]}$ 于点Q，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，使点A，D在 $\text{[math]}$ 异侧．设点P的运动时间为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．

(1) $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

(2) 当点D落在边 $\text{[math]}$ 上时，求x的值．

(3) 求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

【考点】

三角形的面积; 三角形全等及其性质; 等边三角形的性质; 直角三角形的性质; 三角形全等的判定-AAS;

【答案】

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综合题困难

如图，等边三角形ABC中，点D、E、F、分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC动点，△DMN为等边三角形

(1) 如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？

(2) 如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立请说明理由；

(3) 若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，若不成立请说明理由．

综合题普通

2. 已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．

初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=．

类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？

拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）

综合题普通

如果两个三角形的两条边对应相等，夹角互补，那么这两个三角形叫做互补三角形，如图2，分别以△ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和ACGF，则图中的两个三角形就是互补三角形．

(1) 图1中的△ABC的BC边上有一点D，线段AD将△ABC分成两个互补三角形，则点D在BC边的处．

(2) 证明：图2中的△ABC分割成两个互补三角形面积相等；

(3) 如图3，在图2的基础上再以BC为边向外作正方形BCHI，已知三个正方形面积分别是17、13、10．则图3中六边形DEFGHI的面积为．（提示：可先利用图4求出△ABC的面积）

综合题普通