[数学实验探索活动] 实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片. 实验目的：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径. 例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积，写出相应的等式有a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2. 问题探索：

1. [数学实验探索活动]

实验材料现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.

实验目的：

用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.

例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积，写出相应的等式有a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）=a²+3ab+2b².

问题探索：

(1) 小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）=2a²+3ab+b² ，那么需要两种正方形纸片张，长方形纸片张；

(2) 选取正方形、长方形硬纸片共8块，可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；

(3) 试借助拼图的方法，把二次三项式2a²+5ab+2b²分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框3内.

【考点】

多项式乘多项式; 完全平方公式的几何背景; 因式分解的应用;

【答案】

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综合题困难

1. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律．

【实践操作】如图，有足够多的边长为 $\text{[math]}$ 的小正方形纸片( $\text{[math]}$ 类)、长为 $\text{[math]}$ 宽为 $\text{[math]}$ 的长方形纸片( $\text{[math]}$ 类)以及边长为 $\text{[math]}$ 的大正方形纸片( $\text{[math]}$ 类)．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，

（1）用若干个 $\text{[math]}$ 类、 $\text{[math]}$ 类、 $\text{[math]}$ 类纸片拼成图1中的长方形，根据图形 $\text{[math]}$ 可以因式分解得．

（2）根据图2：若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值

【知识迁移】类似地，我们还可以通过对立体图形的体积进行变换来得到一些代数恒等式．

（3）如图3，在一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体中挖出一个棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体，再把剩余立体图形切割(如图4)，得到三个长方体①、②、③(如图5)．易得长方体①的体积为 $\text{[math]}$ ．则长方体②的体积为，长方体③的体积为 (结果不需要化简)．则因式分解 $\text{[math]}$ ．

【拓展延伸】

（4）尝试因式分解： $\text{[math]}$

(5)应用：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的值．

综合题普通

2. 对于一个图形，通过两种不同的方法计算它们的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到 $\text{[math]}$ ，请解答下列问题：

(1) 如图2，需要张边长为a的正方形，张边长为b的正方形，张边长为a、b的长方形．

(2) 类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：．

(3) 用多项式乘多项式的法则验证（2）中得到的等式．

综合题困难

3. 某公园是长为 $\text{[math]}$ 米，宽为 $\text{[math]}$ 米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为 $\text{[math]}$ 米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分进行绿化，尺寸如图所示．

(1) 求整个公园的面积．

(2) 求绿化的面积．

综合题普通