如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

1.

如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．

（Ⅰ）证明：平面ACD⊥平面ABC；

（Ⅱ）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D﹣AE﹣C的余弦值．

【考点】

平面与平面垂直的判定; 用空间向量研究二面角; 二面角及二面角的平面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是侧棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 如果 $\text{[math]}$ ，且三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.

解答题普通

2. 在三棱台 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是等边三角形，侧面 $\text{[math]}$ 是等腰梯形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是两异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的公垂线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 证明：侧面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 之间的距离为1，求二面角 $\text{[math]}$ 的正切值．

解答题普通

3. 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， D为 $\text{[math]}$ 上一点．

(1) 证明：当D为 $\text{[math]}$ 的中点时，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，异面直线AB和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ 时，求二面角

$\text{[math]}$ 的余弦值．

解答题普通