已知，正方形中，点E在上，点F在上，连接、、 .且平分．

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1. 已知，正方形 $\text{[math]}$ 中，点E在 $\text{[math]}$ 上，点F在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

(1) 如图1，求证： $\text{[math]}$ ．

(2) 如图2，若点E为BC的中点， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．

(3) 如图3，若∠B=90°，连接BD分别交AF、AE于M、N两点，连接ME，若ME⊥AF于M， BM：EF= $\text{[math]}$ ：5，△AEF的面积为15时，求AE的长度．

【考点】

全等三角形的判定与性质; 勾股定理; 正方形的性质; 相似三角形的判定与性质;

【答案】

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综合题困难

1. 如图

(1) 如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE，求证：CE＝CF；

(2) 如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD；

(3) 运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.

综合题困难

2. 如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF．

(1) 求证：BF=2AE；

(2) 若CD= $\text{[math]}$ ，求AD的长．

综合题普通

3. 四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.

(1) 求证：AM=AD+MC.

(2) 若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

综合题困难