阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2）证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由．知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．

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1. 阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如图1∠ABC所示．同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图2）

证明：∵AB切⊙O于点A，∴∠CAB=90°，又∵AC是直径，∴∠P=90°∴∠CAB=∠P

问题拓展：若AC不经过圆心O（如图3），该结论：弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由．

知识运用：如图4，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．求证：EF∥BC．

【考点】

切线的性质;

【答案】

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实践探究题普通

基础巩固

变式训练

拓展培优

真题演练

换一批

1. 如图，在⊙O中，直径AB与弦AC的夹角为30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，OD＝30 cm.求直径AB的长．

解答题容易

1. 如图，直线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，若以 $\text{[math]}$ 为半径的 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相切，则 $\text{[math]}$ 的长为．

填空题普通

2. 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线，A，B为切点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为°．

填空题容易

3. 如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )

A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°

单选题普通

1. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，将对角线交点为 $\text{[math]}$ 的正方形记作正方形 $\text{[math]}$ ，对于正方形 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ （不与 $\text{[math]}$ 重合）给出如下定义：若正方形 $\text{[math]}$ 的边上存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与以 $\text{[math]}$ 为半径的 $\text{[math]}$ 切于点 $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 的“伴随切点”．

(1) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的顶点分别为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，正方形 $\text{[math]}$ 的“伴随切点”是________；

$\text{[math]}$ 若直线 $\text{[math]}$ 上存在正方形 $\text{[math]}$ 的“伴随切点”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ．若存在正方形 $\text{[math]}$ 的两个“伴随切点” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为等边三角形，直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

2. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为1．对于 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ 和一点 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 只有一个公共点， $\text{[math]}$ ，则称点 $\text{[math]}$ 是弦 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 切割点”．

(1) 已知点 $\text{[math]}$ ．

①若点 $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 切割点”，则 $\text{[math]}$ ______，点 $\text{[math]}$ 的坐标为______；

②若弦 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行且只有一个点 $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 切割点”，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是______；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，若存在 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 为弦 $\text{[math]}$ 的“ $\text{[math]}$ 切割点”．直接写出 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的点 $\text{[math]}$ 和图形 $\text{[math]}$ ，给出如下的定义：若在图形 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 两点间的距离小于或等于 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为图形 $\text{[math]}$ 的关联点．

(1) 当 $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ 时，

① 在点 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的关联点是_______；

② 点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的关联点，直接写出点 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围；

(2) $\text{[math]}$ 的圆心在 $\text{[math]}$ 轴上，半径为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴， $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ ．若线段 $\text{[math]}$ 上的所有点都是 $\text{[math]}$ 的关联点，直接写出圆心 $\text{[math]}$ 的横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y= $\text{[math]}$ （k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．

填空题困难

2. 如图，等边△ABC的周长为6π，半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发，在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与AB相切于点D的位置，则⊙O自转了（）

A. 2周 B. 3周 C. 4周 D. 5周

单选题普通

3. 如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP=2。若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT=

填空题普通