将三棱锥与拼接得到如图所示的多面体，其中，，，分别为，，，的中点， .

1. 将三棱锥 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 拼接得到如图所示的多面体，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ .

(1) 当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上时，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 均为面积为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，求该多面体体积的最大值.

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积; 直线与平面平行的判定;

【答案】

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解答题普通

1. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面ABCD是菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为PD的中点．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面ACE；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通

2. 如图所示，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，侧面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 为正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，设 $\text{[math]}$ ．

(1) 当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？并加以证明．

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．

解答题普通

3. 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点．

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 体积．

解答题普通