小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：cm）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．

1. 小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面 $\text{[math]}$ 是边长为8（单位：cm）的正方形， $\text{[math]}$ 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面 $\text{[math]}$ 垂直．

(1) 证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积; 直线与平面平行的判定; 直线与平面垂直的判定; 直线与平面垂直的性质;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ 的中点.

(1) 设经过 $\text{[math]}$ 三点的平面交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，

(2) 若 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求四面体 $\text{[math]}$ 的体积.

解答题普通

2. 已知球内接正四棱锥 $\text{[math]}$ 的高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ，球的表面积为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.

(1) 求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.

解答题普通

3. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .

(1) 点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值.

解答题普通