已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.

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1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，过坐标原点 $\text{[math]}$ 作两条互相垂直的射线与椭圆 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.

(1) 证明：当 $\text{[math]}$ 取得最小值时，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ .

(2) 若椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为2，是否存在定圆与直线 $\text{[math]}$ 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.

【考点】

圆的标准方程; 直线与圆的位置关系; 椭圆的简单性质;

【答案】

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解答题普通

1. 在极坐标系中，点M的坐标为 $\text{[math]}$ ，曲线C的方程为 $\text{[math]}$ ；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l经过点M．

(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：

(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．

解答题普通

2. 平面直角坐标系xOy中，与圆F₁：（x+1）²+y²=1和圆F₂：（x﹣1）²+y²=25都内切的动圆圆心的轨迹记为C，点M（x₀ ， y₀）为轨迹C上任意一点；在直线l：y=3上任取一点P向轨迹C引切线，切点为A、B．

(1) 求动圆圆心轨迹C的方程，并求以M（x₀ ， y₀）为切点的C的切线方程；

(2) 证明：直线AB过定点H，并求出H的坐标；

(3) 过（2）中的定点H作直线AB的垂线交l于点T，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

解答题困难

3. 如图，圆O是一半径为10米的圆形草坪，为了满足周边市民跳广场舞的需要，现规划在草坪上建一个广场，广场形状如图中虚线部分所示的曲边四边形，其中A，B两点在⊙O上，A，B，C，D恰是一个正方形的四个顶点．根据规划要求，在A，B，C，D四点处安装四盏照明设备，从圆心O点出发，在地下铺设4条到A，B，C，D四点线路OA，OB，OC，OD．

(1) 若正方形边长为10米，求广场的面积；

(2) 求铺设的4条线路OA，OB，OC，OD总长度的最小值．

解答题普通