如图，是的直径，是圆心，是圆上一点，且，是延长线上一点，与圆交于另一点，且．

1. 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 是圆心， $\text{[math]}$ 是圆上一点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点， $\text{[math]}$ 与圆交于另一点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求 $\text{[math]}$ 的度数．

【考点】

三角形的外角性质; 等腰三角形的性质;

【答案】

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综合题普通

1. 教材呈现：（华师版九上28.3圆周角）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．

教材分析：如图， $\text{[math]}$ 是⊙O的直径， $\text{[math]}$ 是直径 $\text{[math]}$ 所对的圆周角，根据上述定理，则 $\text{[math]}$ ，如果我们把 $\text{[math]}$ 看作是180°的圆心角，可以进一步得到的结论： $\text{[math]}$ ，即：半圆所对的圆周角等于该半圆所对的圆心角的一半．

联想猜测：那么对于非半圆所对的圆周角，是不是也有类似的规律呢？

探究化归：不难发现，按圆心与圆周角的位置关系分类，我们可将圆周角分为三类．

(1) ①圆心在圆周角的一条边（直径）上，如图①． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

②圆心在圆周角内，如图②，我们将其化归为①的情形，作直径 $\text{[math]}$ ．由①的结论， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ （∠+∠） $\text{[math]}$ ．

(2) 圆心在圆周角外，如图③．显然我们也应将其化归为①的情形予以解决．请同学们在下面自己完成推理过程．

综合题普通

2. 如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站， $\text{[math]}$ ，从A测得船C在北偏东 $\text{[math]}$ 的方向，从B测得船C在北偏东 $\text{[math]}$ 的方向．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的度数；

(2) 船C离海岸线l的距离 $\text{[math]}$ 即CD的长 $\text{[math]}$ 为多少？ $\text{[math]}$ 不取近似值 $\text{[math]}$

综合题普通

3. 已知△ABC，AB=AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD=AE，设∠BAD=α，∠CDE=β．

(1) 如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．

①如果∠ABC=60°，∠ADE=70°，那么α=°，β=°；

②求α，β之间的关系式．

(2) 请直接写出不同于以上②中的α，β之间的关系式可以是．（写出一个即可．）

综合题困难