如图，△ABC是等边三角形．

1. 如图，△ABC是等边三角形．

(1) 利用直尺和圆规按要求完成作图（保留作图痕迹）；

①作线段AC的中点M ．

②连接BM ，并延长到D ，使MD＝MB ，连接AD ， CD ．

(2) 求证（1）中所作的四边形ABCD是菱形．

【考点】

线段垂直平分线的性质; 等边三角形的性质; 菱形的判定; 尺规作图-垂直平分线;

【答案】

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综合题普通

1. 【数学初探】

在数学课上，叶老师提出了一个探究型问题：“如图1，你能借助锐角 $\text{[math]}$ 画出一个菱形，使 $\text{[math]}$ 为该菱形的一个内角吗？”雷同学提出了自己的见解：如图2，①作 $\text{[math]}$ 的平分线AE，交BC于点E；②作AE的中垂线l分别交AB、AC、AE于点F、G、H；③连接EF，EG，则四边形AFEG是菱形．

(1) 请你帮助雷同学证明四边形AFEG是菱形．

(2) 【深入探究】

雷同学开启大胆尝试，如图3，将 $\text{[math]}$ 的中线BO延长至点D，使 $\text{[math]}$ ，连接AD，CD，平移图2中的直线l（平移过程中直线l与AB、AC、AE的交点仍为F、G、H），当直线l恰好经过点D时，他通过测量发现了线段OG与线段BF存在特定的数量关系．

请你写出线段OG与线段BF的数量关系，并求证．

(3) 【迁移应用】
如图4，在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值．

综合题困难

2. 如图，▱ABCD中，点E是CD的中点，连接AE并延长交BC延长线于点F．

(1) 求证：CF=AD

(2) 连接BD，DF，

①当∠ABC=90°时，△BDF的形状是；

②若∠ABC=50°，当∠CFD=°时，四边形ABCD是菱形．

综合题普通

3. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ，分别交 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长等于.

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数

综合题普通