若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数的图象与性质．列表： x … 0 1 2 3 … y … 1 2 1 0 1 2 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

1. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质．列表：

x

…

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

0

$\text{[math]}$

1

$\text{[math]}$

2

$\text{[math]}$

3

…

y

…

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

1

$\text{[math]}$

2

$\text{[math]}$

1

$\text{[math]}$

0

$\text{[math]}$

1

$\text{[math]}$

2

…

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．

(1) 如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

(2) 研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：

①点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在函数图象上， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；（填“＞”，“＝”或“＜”）

②当函数值 $\text{[math]}$ 时，求自变量x的值；

③在直线 $\text{[math]}$ 的右侧的函数图象上有两个不同的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；

④若直线 $\text{[math]}$ 与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．

【考点】

分段函数;

【答案】

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综合题普通

1. 我国新疆地区种植的棉花以绒长、品质好、产量高闻名世界．研究表明，在棉花成长周期内，随着棉花的不断成熟，成长高度y（cm）与成长时间x（天）的函数关系如图所示．

(1) 求y与x的函数关系式．

(2) 棉花在成长过程中，第25天时，开始进入吐絮期．试求出第25天时，棉花成长的高度．

综合题普通

2. 小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x²﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x+1.小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究.

(1) 下列关于该函数图象的性质正确的是；（填序号）

①y随x的增大而增大；

②该函数图象关于y轴对称；

③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；

④该函数图象不经过第三象限.

(2) ①在平面直角坐标系xOy中画出该函数图象；

②若关于x的方程2x+c＝[x]有两个互不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c的取值范围是 ▲ ；

(3) 若点（a，b）在函数y＝x﹣3图象上，且﹣ $\text{[math]}$ ＜[a]≤2，则b的取值范围是.

综合题普通

3. 新定义函数：在y关于x的函数中，若0≤x≤1时，函数y有最大值和最小值，分别记y_max和y_min ，且满足 $\text{[math]}$ ，则我们称函数y为“三角形函数”．

(1) 若函数y=x+a为“三角形函数”，求a的取值范围；

(2) 判断函数y=x²﹣ $\text{[math]}$ x+1是否为“三角形函数”，并说明理由；

(3) 已知函数y=x²﹣2mx+1，若对于0≤x≤1上的任意三个实数a，b，c所对应的三个函数值都能构成一个三角形的三边长，则求满足条件的m的取值范围．

综合题困难