已知函数，其中是自然对数的底数.

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数.

(1) 证明： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的奇函数；

(2) 试判断方程 $\text{[math]}$ 的实根的个数；

(3) 若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

【考点】

奇偶性与单调性的综合;

【答案】

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解答题普通

1. 已知定义域为 $\text{[math]}$ 的函数是奇函数 $\text{[math]}$

(1) 求实数 $\text{[math]}$ 的值

(2) 判断并证明 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性

(3) 若对任意实数 $\text{[math]}$ ,不等式 $\text{[math]}$ 恒成立,求 $\text{[math]}$ 的取值范围

解答题普通

2. 对于函数 $\text{[math]}$ ，若在定义域内存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“ $\text{[math]}$ 类函数”.

(1) 已知函数 $\text{[math]}$ ，试判断 $\text{[math]}$ 是否为“ $\text{[math]}$ 类函数”？并说明理由；

(2) 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的“ $\text{[math]}$ 类函数”，求是实数 $\text{[math]}$ 的最小值；

(3) 若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为其定义域上的“ $\text{[math]}$ 类函数”，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

3. 已知函数 $\text{[math]}$ ^.

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 恰有两个不同的零点，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

(2) 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 若对任意 $\text{[math]}$ ，恒有 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

$\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值 $\text{[math]}$

解答题困难