如图，平面，， . （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角的余弦值为，求线段的长.

1. 如图， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；

（Ⅱ）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

（Ⅲ）若二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的长.

【考点】

空间向量平行的坐标表示; 用空间向量研究直线与平面所成的角; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的重心，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，如图所示.

(1) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不与端点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直?若存在，求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值；若不存在，请说明理由.

解答题普通

2. 如图所示，半圆柱的轴截面为平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆柱底面的直径， $\text{[math]}$ 为底面圆心， $\text{[math]}$ 为一条母线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题普通

3. 如图，在几何体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值.

解答题普通