在中，，，，、分别是、上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.

1. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，满足 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 的重心，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，如图所示.

(1) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的大小；

(2) 在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不与端点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），使平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 垂直?若存在，求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的比值；若不存在，请说明理由.

【考点】

用空间向量研究直线与平面所成的角; 用空间向量研究二面角;

【答案】

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解答题普通

1. 如图所示，半圆柱的轴截面为平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是圆柱底面的直径， $\text{[math]}$ 为底面圆心， $\text{[math]}$ 为一条母线， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ ；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题普通

2. 如图，在几何体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值.

解答题普通

3. 如图四棱锥 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为直角的等腰直角三角形，其中 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .

(1) 求证： $\text{[math]}$ 四点共面；

(2) 求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.

解答题普通