已知函数，其中且．

1. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．

(1) 若 $\text{[math]}$ 是偶函数，求a的值；

(2) 若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．

【考点】

利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究函数的极值;

【答案】

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解答题困难

1. 已知函数 $\text{[math]}$ .

(1) 当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；

(2) 若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有一个极值点，求实数 $\text{[math]}$

解答题困难

2. 已知函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

（1）若 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的极大值为 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；

（2）若对任意的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.

解答题困难

3. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）

步骤1：设圆心是 $\text{[math]}$ ，在圆内异于圆心处取一点，标记为 $\text{[math]}$ ；

步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点 $\text{[math]}$ ；

步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；

步骤4：不断重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的图形是一个椭圆.

现取半径为 $\text{[math]}$ 的圆形纸片，定点 $\text{[math]}$ 到圆心 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，按上述方法折纸.以向量 $\text{[math]}$ 的方向为 $\text{[math]}$ 轴正方向，线段 $\text{[math]}$ 中点为原点建立平面直角坐标系.

(1) 求折痕围成的椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 已知点 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上任意一点，过点 $\text{[math]}$ 做椭圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别是 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值，并确定此时点 $\text{[math]}$ 的坐标.

注：椭圆： $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 处的切线方程是： $\text{[math]}$ .

解答题普通