已知椭圆的离心率，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为的直线交椭圆于两点.

1. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，连接四个顶点所得菱形的面积为4.斜率为 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值；

(3) 设 $\text{[math]}$ 为坐标原点，若 $\text{[math]}$ 三点不共线，且 $\text{[math]}$ 的斜率满足 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为定值.

【考点】

直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题困难

1. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率 $\text{[math]}$ 与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆 $\text{[math]}$ 的中心为坐标原点，焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在 $\text{[math]}$ 轴上，面积为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上.

(1) 求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；

(2) 经过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的面积比为 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题普通

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程 $\text{[math]}$ ，其左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ．

(1) 过点 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 直线 $\text{[math]}$ 过右焦点 $\text{[math]}$ ，且它们的斜率乘积为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 分别与椭圆交于点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的中点，证直线 $\text{[math]}$ 过定点，并求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．

解答题困难

3. 已知 $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，过焦点 $\text{[math]}$ 作一条直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于A，B两点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的准线 $\text{[math]}$ 上，且直线MF的斜率为 $\text{[math]}$ 的面积为1.

(1) 求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 试问在 $\text{[math]}$ 上是否存在定点 $\text{[math]}$ ，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

(3) 过焦点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴垂直的直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ的交点在一条定直线上.

解答题困难