已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．

1. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点A（2，1）．

(1) 求C的方程：

(2) 点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．

【考点】

椭圆的定义; 直线与圆锥曲线的综合问题;

【答案】

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解答题普通

1. 已知曲线 $\text{[math]}$ 由半圆 $\text{[math]}$ 和半椭圆 $\text{[math]}$ 组成，点 $\text{[math]}$ 在半椭圆上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

(1) 求 $\text{[math]}$ 的值；

(2) $\text{[math]}$ 在曲线 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是原点）．

（ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；

（ⅱ）如图，点 $\text{[math]}$ 在半圆上时，将 $\text{[math]}$ 轴左侧半圆沿 $\text{[math]}$ 轴折起，使点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．

解答题困难

2. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.

(1) 若直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；

(2) 记线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时，求直线 $\text{[math]}$ 的方程.

解答题困难

3. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，过抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 焦点的直线交抛物线于M ， N两点， $\text{[math]}$ 的最小值为4.连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 并延长分别交 $\text{[math]}$ 于A ， B两点，且点A与点M ，点B与点N均不在同一象限， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

(1) 求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的方程；

(2) 记 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值.

解答题困难